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Um campo de forças é chamado newtoniano, ou coulombiano, quando satisfaz às duas condições seguintes:
1a) as forças desse campo obedecem a uma equação do tipo da equação de Coulomb:
2a) as forças que se exercem entre duas partículas 1 e 2 colocadas no campo, exercem-se segundo a reta determinada pelas partículas (fig. 40).
Figura 40
Essas forças que se exercem entre duas partículas tem igual módulo, mas sentidos opostos. Por isso, se uma for representada por  , a outra deverá ser representada por  .
Existem três exemplos de campos newtonianos na natureza: o elétrico, o magnético e o gravitacional. Esses três campos tem propriedades idênticas, e seguem as mesmas equações. Uma diferença de comportamento entre eles está no fato de existirem forças de atração e de repulsão nos campos elétricos e magnéticos enquanto que no gravitacional só há forças de atração. Salvo essa restrição, tudo o que diremos neste Capítulo III vale para os três campos.
Propriedade fundamental do campo elétrico
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Antes de estudarmos a propriedade fundamental do campo elétrico, recordemos a propriedade fundamental do campo gravitacional, que é conhecida de todos. Consideremos um ponto A situado no campo gravitacional da Terra. A Terra tem massa que chamaremos M e suporemos concentrada em seu centro. Imaginemos que no ponto A seja colocado um corpo qualquer desses que estão na superfície da Terra, como uma pedra, um avião, etc.. Seja m a massa desse corpo. Sabemos que m é sempre muito menor que a massa da Terra e que por isso, quando colocamos em A a massa m o campo gravitacional da Terra não é alterado. A massa M da Terra atrai a massa m com uma força  , que chamamos peso do corpo. E a massa m atrai a Terra com uma força de igual módulo e contrária, que é (fig. 39).
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Figura 39
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Suponhamos que retiremos do ponto A aquele corpo e coloquemos sucessivamente, no mesmo ponto A, outros corpos de massa  , todas suficientemente pequenas para não alterarem o campo gravitacional da Terra. Esses outros corpos ficarão sujeitos respectivamente às forças  . A propriedade fundamental do campo gravitacional é: o quociente dessas forças pelas massas correspondentes é uma grandeza vetorial constante para o mesmo ponto A. Isto é,
 sendo constante em módulo, direção e sentido para o mesmo ponto A. A grandeza é chamada aceleração da gravidade no ponto A. Isolando só uma igualdade, teremos:
 , ou 
Essa expressão nos mostra que a força que atua numa massa m depende de dois fatores: um, é a própria massa m; o outro é a aceleração da gravidade , que não depende da massa m, mas depende unicamente do ponto A no qual a massa m é colocada.
Considerando os módulos de e , temos:  . Quando m = 1, fica:  . Significa que a intensidade da aceleração da gravidade num ponto é igual à intensidade do peso de um corpo de massa unitária colocada nesse ponto.
Caso do campo elétrico – Imaginemos o campo elétrico de uma carga puntiforme Q. Suponhamos que num ponto A desse campo coloquemos uma carga elétrica q, suficientemente pequena para não alterar o campo de Q. A carga q ficará sujeita a uma força , e Q à força . Suponhamos que a carga q seja retirada do ponto A, e que no mesmo ponto, seja colocada uma carga q1; esta carga q1 ficará sujeita a uma força  . Suponhamos que continuemos essa operação colocando sucessivamente no ponto A as cargas elétricas  , todas elas suficientemente pequenas para não alterarem o campo de Q. Elas ficarão sujeitas respectivamente, às forças  (fig. 41).
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Figura 41
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A propriedade fundamental do campo elétrico é a seguinte: o quociente dessas forças pelas carrgas elétricas corresndentes colocadas em A é uma grandeza vetorial constante para o mesmo ponto A do campo elétrico. Isto é,
(constante em módulo, direção e sentido, para o mesmo ponto A).
Essa grandeza vetorial é chamada vetor campo elétrico, ou vetor campo, ou simplesmente o campo no ponto A. Isolando uma igualdade, teremos:
 , ou 
Dizer que o quociente da força pela carga q e uma grandeza constante , significa que essa grandeza não depende de q nem de . Para um mesmo campo, ela depende exclusivamente do ponto A escolhido dentro desse campo. A propriedade fundamental consiste na existência dessa grandeza vetorial  perfeitamente determinada para cada ponto do campo elétrico.
Na equação  , representa o vetor campo no ponto A do campo elétrico produzido pela carga Q, e a força que atua sobre uma carga q colocada nesse ponto A. Portanto, a força que atua sobre a carga q depende da carga q e de um fator que não depende da carga, mas do ponto em que ela é colocada.
Considerando os módulos de e , temos:
Significa que o módulo do campo elétrico num ponto é igual ao módulo da força que atua sobre a unidade de carga elétrica colocada nesse ponto.
Vemos então que o campo gravitacional e o elétrico tem essa propriedade em comum. E que a equação  é análoga à equação  . O campo corresponde, em eletricidade, à aceleração da gravidade na mecânica, e a carga elétrica q à massa mecânica m.
Características do vetor campo
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Uma grandeza física vetorial é caracterizada por quatro elementos:
1) significado físico;
2) módulo;
3) direção;
4) sentido.
1) O significado físico do vetor campo elétrico foi dado; é o quociente de uma força por uma carga elétrica.
2) Módulo – Suponhamos, no campo elétrico da carga elétrica puntiforme Q, um ponto A situado à distância d dessa carga (fig. 42). Colocando em A a carga elétrica puntiforme q ela ficará sujeita à força . O campo em A será , tal que
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Figura 42
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O módulo de será igual ao quociente do módulo de pelo valor absoluto de q, isto é:
Mas, pela fórmula de Coulomb,  vale:
 . Então,
Resulta:
Essa expressão mostra que o módulo do campo elétrico num ponto é diretamente proporcional à carga que produz o campo inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à carga e inversamente proporcional à constante dielétrica do meio. O campo depende então da natureza do meio. Mas, observemos que ele não depende da carga q.
O módulo do campo é também chamado intensidade do campo.
3) Direção – O vetor , sendo o quociente do vetor pelo número q, tem a mesma direção que . Como se trata de um campo coulombiano, a direção de é a direção da reta QA. Logo, essa é também a direção de (fig. 42).
4) Sentido – Para estudar o sentido de é preciso lembrar que, sendo  , o sentido de é o mesmo de quando q é positivo, e é contrário ao de quando q é negativo (ver Introdução § 4). Há dois casos para o sentido de .
1o caso – A carga que produz o campo é positiva. Neste caso, q pode ser positivo ou negativo.
Sub-caso a) -q é positivo (fig. 43-a). A força é de repulsão, pois Q e q têm mesmo sinal. Sendo q positivo, o sentido de é o mesmo de . Logo, tem o sentido de Q para A.
Figura 43
Sub-caso b) -q é negativo. A força é de atração (fig. 44-a). Sendo q negativo, o sentido de é oposto ao de . Logo, tem o sentido de Q para A.
Conclusão: Q sendo positivo, o sentido de é sempre o sentido de Q para A, qualquer que seja o sinal de q. Mudando o sinal de q mudaremos o sentido da força , mas não o do campo , consequência do fato de independer de q.
2o caso – A carga Q que produz o campo é negativa.
Sub-caso a) -q é positivo. A força é de atração. Sendo q positivo, o sentido de é o mesmo de . Logo, tem o sentido de A para Q.
Figura 44
Sub-caso b) -q é negativo. A força é de repulsão. Sendo q negativo, o sentido de é inverso ao de . Logo, tem o sentido de A para Q (fig. 44-b).
Conclusão: Q sendo negativo, o sentido de é sempre o sentido de A para Q, qualquer que seja o sinal de q.
Pelas características do vetor campo , observamos que ele não depende da carga q em módulo, nem direção, nem sentido, de acordo com o que dissemos quando definimos . Essa carga q que usamos para estudar as características do vetor é uma carga simplesmente auxiliar para raciocínio e não influi nos resultados. O mesmo acontece com a aceleração da gravidade; essa aceleração, num ponto qualquer ao redor da Terra não depende da massa de nenhum corpo que por ventura seja colocado
Unidades de intensidade de campo
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Já vimos que a intensidade de campo é o módulo do vetor campo. A sua unidade é deduzida da expressão:
a. Sistema CGSES
Neste sistema devemos considerar  e  . Resulta:
 ou 1 ues CGS 
Indica-se por d/ues CGSq ou ues CGS . Logo, uma unidade CGSES de intensidade de campo elétrico é a intensidade do campo elétrico em um ponto tal que, uma carga puntiforme de uma unidade CGSES de carga colocada nesse ponto, fica sujeita à força de um dine.
b. Sistema MKS
Neste sistema devemos considerar q = 1 c e  . Resulta:
 ou 1 u MKS
Esta unidade é indicada por N/c ou u MKS . Portanto, uma unidade MKS de intensidade de campo elétrico é a intensidade de campo elétrico em um ponto tal que, uma carga puntiforme de um coulomb colocada nesse ponto fica sujeita à força de um newton.
Relação entre as unidades – Sendo  e 1 c = 3.109 ues CGSq, resulta:
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ponto. Depende da posição do ponto ao redor da Terra.
Campo produzido por mais que uma carga pontual
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Suponhamos duas cargas elétricas pontuais Q1 e Q2 suficientemente próximas para que haja uma interpenetração de seus campos. Haverá pontos. como A, sujeitos simultaneamente aos dois campos elétricos. Se existisse só a carga  , ela produziria em A, um campo  . Se existisse só  , ela produziria em A um campo  . A experiência nos mostra que o campo que realmente existe em A é o campo obtido pela soma vetorial dos dois campos e (fig. 45). Esse fato, de que os vetores campos de um mesmo ponto são somados, é um caso particular de um princípio geral que existe em eletricidade e que se chama princípio da superposição dos efeitos. De acordo com esse princípio, quando vários efeitos são produzidos simultaneamente num ponto, esses efeitos se somam. Se os efeitos são representados por grandezas escalares elas são somadas escalarmente; se são representados por grandezas vetoriais elas são somadas vetorialmente.
Figura 45
O campo resultante tem as seguintes características:
a. Módulo
Sendo o ângulo formado por e , temos:
b. Direção
Podemos assinalar a direção do campo em relação a um dos componentes. Chamado ao ângulo  que faz com , temos:
c. Sentido
Não podemos exprimir algebricamente.
Quando existirem mais que duas cargas elétricas pontuais produzindo o campo, calculamos o campo devido a cada carga separadamente, e
Linha de força
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Definição
Chama-se linha de força de um campo elétrico a uma linha que em cada ponto é tangente ao vetor campo desse ponto.
Assim, se nos pontos A, B, C, D,... o vetor campo é respectivamente  a linha de força que passa por todos esses pontos é a linha ABCD... tangente a (fig. 46).
Figura 46
Não é só o campo elétrico que tem linhas de força. O campo magnético e o da gravidade, por exemplo, também tem. No caso da gravidade, a linha de força é uma linha que em todos os seus pontos se mantém tangente ao vetor aceleração da gravidade, ; sabemos que a linha que satisfaz a essa condição é a vertical; isto é, as linhas de força do campo gravitacional são as verticais.
A linha de força tem, assim, uma definição puramente geométrica. Mas, vejamos duas conclusões que podemos tirar dessa definição.
1a conclusão – Se conhecemos uma linha de força ABCD..., saberemos qual a direção do campo em qualquer um de seus pontos; é a direção da tangente à linha nesse ponto.
2a conclusão – Suponhamos uma carga q colocada em um ponto A de uma linha de força (fig. 47). O campo é tangente à linha de força no ponto A. A força que atua em q, que vale  . , tem a mesma direção que ; logo , também é tangente à linha de força no ponto A. Portanto, em cada ponto, a tangente à linha de força dá a direção de força que atua numa carga elétrica posta nesse ponto.
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Figura 47
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Para fixar idéias, consideremos as linhas de força do campo gravitacional, isto é, as verticais. As duas conclusões apresentadas acima para o campo elétrico também valem para o campo gravitacional, e são bem conhecidas de todos. Assim, a primeira conclusão significa que, se conhecermos uma vertical, como consequência conheceremos a direção da aceleração da gravidade em cada um de seus pontos: é a tangente à vertical. A segunda conclusão significa que, em cada ponto, a tangente à vertical dá a direção da força com que a Terra atrai um corpo. Qual o interesse de conhecermos as linhas de força de um campo elétrico? A importância das linhas de força está exatamente nas duas conclusões citadas acima. É que, conhecendo as linhas de força, conhecemos as direções do vetor e das forças que atuam nas cargas colocadas no campo. É por isso que costumamos representar geometricamente um campo elétrico por meio das suas linhas de força. É o caso da figura abaixo em que o campo é formado por duas cargas elétricas, sendo uma positiva e uma negativa,
Figura 52
e o da próxima figura, em que o campo é formado por duas cargas positivas.
Figura 53
Uma propriedade importante – Duas linhas de força de um mesmo campo elétrlco nunca se cruzam. A demonstraçao dessa propriedade se faz por absurdo. Suponhamos que duas linhas de força (1) e (2) se cruzassem no ponto A (fig. 48). Como em cada ponto o vetor campo é tangente à linha de força, concluiríamos que existiria um vetor tangente à linha de força (1), e um vetor tangente à linha de força (2). Logo, no mesmo ponto A existiriam dois campos, e . Mas, isso não pode acontecer, pois pela propriedade fundamental do campo elétrico, em cada ponto só existe um vetor campo, perfeitamente determinado em intensidade, direção e sentido.
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Figura 48
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Essa propriedade mostra então que, apesar de no campo elétrico existir uma infinidade de linhas de força, por cada ponto do campo passa uma e uma só linha de força.
Exemplos de linhas de força
1. Campo elétrico de uma só carga
Suponhamos o campo elétrico produzido por uma única carga elétrica . Vimos no tópico "Campo Newtoniano, ou Coulombiano" que o campo elétrico é coulombiano. Portanto, se colocarmos uma carga q num ponto A do campo da carga Q, a força que atuará em Q e em q terá a direção da reta r que une as duas cargas (fig. 49). Como o vetor no ponto A tem a mesma direção que a força , então tem a direção da reta r. Isso, qualquer que seja o ponto A da reta r em que for colocada a carga q. Mas, se em todos os pontos da reta r os vetores tem a própria direção da reta r, esta reta é tangente a todos esses vetores: logo, ela é uma linha de força.
Figura 49
Concluímos que as linhas de força do campo elétrico produzido por uma só carga puntiforme são retas que passam por essa carga. Veja os exemplos das figuras abaixo.
Figura 50
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Figura 51
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2. Campo de mais de uma carga
Quando o campo elétrico é produzido por mais que uma carga as linhas de força não são mais retas: são curvas. Como por exemplo:
Figura 52
Sentido da linha de força
Atribuímos um sentido positivo de percurso a uma linha de força. Consideramos como positivo o sentido em que seria deslocada uma carga elétrica puntiforme positiva colocada sobre a linha. Na figura ao lado a carga puntiforme positiva q seria deslocada de A para B. Logo, esse é o sentido da linha de força.
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Figura 47
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Vimos acima que, quando o campo é produzido por uma só carga puntiforme Q, as linhas de força são retas que passam por essa carga. Suponhamos que a carga Q que produz o campo seja positiva; então uma carga q positiva colocada no ponto A será repelida; logo, o sentido da linha de força é o sentido QA.
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Figura 50
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Suponhamos agora que a carga Q que produz o campo seja negativa; então uma carga q positiva, colocada no ponto A será atraída; logo, o sentido da linha de força é AQ. Costumamos exprimir esses fatos dizendo que quando Q é positiva as linhas de força “saem” da carga; e que, quando Q é negativa as linhas de força “entram” na carga.
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Figura 51
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É fácil verificar que na figura a seguir o sentido das linhas de força é o que está assinalado.
Campo elétrico uniforme
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Definição
Chama-se campo elétrico uniforme àquele em que o vetor campo tem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido em todos os pontos. Como as linhas de força de um campo são sempre tangentes ao vetor campo, concluímos que num campo uniforme as linhas de força são retas e paralelas.
Figura 54
Exemplo – Suponhamos dois condutores planos, paralelos e próximos. Se eles forem carregados com cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos, o campo elétrico que se formará entre eles será uniforme. As linhas de força são paralelas entre sí e perpendiculares aos planos; apenas nos bordos o campo deixa de ser uniforme: as linhas de força se curvam, como mostra a figura 55.
Figura 55
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Figura 53
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a soma vetorial de todos os campos parciais.
Tubo de força
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Imaginemos em um campo elétrico uma linha fechada a, qualquer. Chama-se tubo de força ao conjunto de todas as linhas de força que passam pelos pontos da linha a (fig. 56).
Figura 55
É evidente que em qualquer ponto do tubo de forças o campo é tangente ao tubo, pois este é formado de linhas de forças.
Fluxo elétrico num campo uniforme
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Nota: Antes de vermos a definição de fluxo elétrico, vejamos um problema de Mecânica.
Imaginemos que num canal de secção transversal constante esteja escoando água com velocidade constante  . Consideremos uma secção qualquer plana de área S no canal. Calculemos o volume de água que passa por essa secção durante um segundo. Uma gota d’água que num instante qualquer está em S, depois de um segundo terá percorrido uma distância igual ao módulo da velocidade,  . Então, o volume de água que passa por S em um segundo é o volume de um cilindro gerado por S se S deslocar-se paralelamente a sí mesmo de uma distância igual a .
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Figura 56-a |
O volume desse cilindro é igual ao produto da área da base, S, pela altura h (perpendicular comum às bases)(fig. 56-a). Representaremos esse volume por  :
Sendo o ângulo  que faz com , vemos pela figura que:
Substituindo em , teremos :
Concluímos que o volume de água que atravessa a superfície de área num segundo é dado pelo produto do módulo da velocidade, pela área da superfície, pelo coseno do ângulo que a normal à superfície faz com a velocidade.
Figura 56
Esse volume é chamado vazão, ou fluxo de água que atravessa a superfície S.
Insistamos então no seguinte: o fluxo de água é dado pelo produto de três fatores: o módulo de uma grandeza vetorial (velocidade), uma área e um coseno. Essa expressão dada pela fórmula anterior é muito importante. Ela é importante sob o aspecto matemático porque se conhecermos certas propriedades da grandeza poderemos depois concluir propriedades da grandeza , e, como consequência, propriedades do movimento daquele líquido no canal.
Fluxo elétrico num campo uniforme
Suponhamos uma superfície plana de área colocada num campo elétrico uniforme de intensidade . Seja n a normal à superfície e o ângulo que a normal faz com as linhas de força do campo (fig. 57).
Figura 57
Por definição, chama-se fluxo elétrico que atravessa uma superfície plana colocada num campo elétrico uniforme ao produto da área da superfície, pelo módulo do campo, pelo coseno do ângulo que a normal à superfície faz com a direção do campo. Representaremos por :
Vemos então que o fluxo elétrico é definido-por analogia com o fluxo de água. Acontece, porém, que o fluxo de água tem um significado físico fácil de se compreender: representa um volume de água que passa por uma superfície em um segundo. Enquanto que, do fluxo elétrico, não podemos fazer uma imagem física: ele é simplesmente uma expressão matemática na qual aparece o vetor . Veremos exemplos da importância dessa grandeza nos tópicos "Teorema de Coulomb" e "Campo Elétrico Criado por Condutor Esférico", nos quais, aplicando propriedades de concluiremos propriedades do campo .
Quisemos colocar antes o exemplo do fluxo de água para que o leitor perceba bem que, embora o fluxo elétrico seja uma simples expressão matemática que muito nos auxilia, a sua definição foi copiada de uma fórmula que já existia, e que por sua vez surgiu com um problema físico muito simples (o problema de saber quanta água passa por uma secção de um canal). O leitor deve ficar sempre prevenido com as definições. Embora elas, em geral, sejam apresentadas sem maiores explicações, é preciso lembrar que qualquer definição tem sua origem física: não é um produto da imaginação.
Variação do fluxo
Em muitas questões interessa-nos saber se o fluxo que atravessa uma superfície varia ou não, e, no caso de variar, como varia. Pela própria definição de fluxo vemos que ele pode variar de três modos:
1o – variando o módulo campo ;
2o – variando a área da superfície S;
3o – variando o ângulo , isto é, a posição da superfície em relação ao campo.
Na prática se usa o terceiro processo, por ser mais simples: faz-se a superfície girar em torno de um eixo perpendicular ao campo para que haja variação da posição da superfície em relação ao campo.
Variação de Φ em função de α
Façamos a superfície dar uma volta completa em torno de um eixo perpendicular ao campo, partindo da posição em que  . Permanecendo constantes os valores de e S, os valores do fluxo serão proporcionais aos de cos . Durante essa variação do fluxo, poderemos considerar alguns casos particulares que nos interessam, e que estão assinalados nas figuras 58.
Figura 58
1o)  . A superfície é perpendicular ao campo. Neste caso,  . Fica:
Como o valor +1 é o máximo do coseno, neste caso temos o máximo do fluxo.
2o)  . A superfície é paralela ao campo. Neste caso, cos = cos 90o = 0. Fica:
3o)  . A superfície é novamente perpendicular ao campo, mas o fluxo penetra pela face oposta àquela por onde penetrava no 1o caso. Sendo  , fica:
ou
Vemos que, neste caso, o fluxo é o máximo com sinal negativo.
4o)  . A superfície é novamente paralela ao campo. Neste caso, cos = cos 270o = 0. Fica:
ou
5o)  é a mesma posição de = 0o.
Representação gráfica – Fazendo uma representação gráfica do fluxo em função
Fluxo elétrico do campo produzido por carga puntiforme, através de superfície pequena
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A definição de fluxo dada anteriormente,  , vale para um campo elétrico uniforme e uma superfície plana. Suponhamos agora uma carga elétrica Q puntiforme e uma superfície de área  muito pequena, situada à distância R da carga Q (fig. 60). A superfície sendo muito pequena, podemos considerar o vetor campo igual para todos os pontos da superfície, isto é, podemos considerar o campo uniforme em S. O módulo desse campo valerá:
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Figura 60
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Sendo o ângulo que a normal à superfície faz com a direção do campo, o fluxo que atravessa a superfície é:
 , ou 
Mas, a superfície e o ponto ocupado pela carga Q determinam um ângulo sólido muito pequeno de valor  . Sabemos que, neste caso,
Substituindo em  , temos:
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do ângulo obtemos uma cosenoide, como indica a figura. Os máximos dessa cosenoide correspondem ao valor  do fluxo; os mínimos, ao valor 
Fluxo através de uma superfície fechada
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Quando uma superfície fechada é considerada dentro de um campo elétrico, ela é atravessada por um fluxo, que deve sempre ser considerado com o seu sinal. Há diversas convenções para atribuirmos um sinal a esse fluxo. Adotaremos a seguinte: o fluxo será considerado positivo quando as linhas de força saem da superfície, e negativo, quando elas entram. Na figura 61, o fluxo que penetra pela face ABC da superfície fechada é negativo; o que sai pela face oposta é positivo.
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Teorema de Gauss
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Este teorema se refere ao fluxo através de uma superfície fechada, no caso em que o campo elétrico é produzido por cargas colocadas no interior da superfície. Suponhamos inicialmente uma só carga Q puntiforme colocada dentro da superfície. Consideremos na superfície um elemento de área muito pequena. Esse elemento e o ponto ocupado por determinam um ângulo sólido também pequeno.
Figura 62
O fluxo total, através de toda a superfície, valerá a soma de todos os fluxos considerados através de todos os elementos de superfície. Portanto,
Sendo  constante, podemos colocar em evidência:
Mas,  representa o ângulo sólido total ao redor de um ponto. Então  esferadianos. Fica
Essa igualdade foi demonstrada para valores absolutos. Provemos que o sinal do primeiro membro coincide sempre com o do segundo. Suponhamos Q positivo; então as linhas de força “saem” de Q, e, portanto, saem da superfície (fig. 62). Mas, nós convencionamos no parágrafo anterior que quando as linhas de força saem de uma superfície fechada o fluxo que atravessa a superfície seja positivo. Logo, quando Q é positivo, também é positivo.
De igual modo se prova que quando Q é negativo, também é negativo (fig. 62-b). Considerando os sinais de Q e de a última fórmula pode ser escrita:
Teorema de Gauss
Figura 62
Suponhamos agora que, em vez de uma só carga  , sejam colocadas no interior da superfície várias cargas . Cada uma delas produzirá um fluxo. O fluxo total será a soma algébrica dos fluxos que elas produzem separadamente:
ou
onde  representa a soma algébrica das cargas internas àsuperfície.
O teorema de Gauss pode então ser enunciado da seguinte maneira: “o fluxo total através de uma superfície fechada, e produzido pelas cargas internas é igual ao produto de  pela soma algébrica das cargas internas” .
Campo no interior de um condutor
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No interior de um condutor o campo elétrico é sempre nulo.
Faremos a demonstração para o caso particular de uma esfera eletrizada. Neste caso a demonstração é simples, porque uma esfera é sempre uniformemente eletrizada, isto é, a densidade elétrica superficial é constante.
Consideremos um elemento de superfície muito pequeno, de Área  . . Esse elemento contém uma carga elétrica  , que vale:  , em que  é a densidade elétrica da esfera. Em um ponto interno qualquer P a carga produz um campo  cujo módulo vale (fórmula  )
em que R é a distância de ao ponto P.
Figura 63
Mas, e o ponto P determinam um ângulo sólido  . Sendo o ângulo que a normal a faz com (a normal é o próprio raio da esfera), vale (fórmula  naIntrodução):
de onde:
Substituindo em  , temos:
Os prolongamentos das semi-retas que determinam formam um outro ângulo sólido, oposto pelo vértice de , e, portanto, igual a . Esse ângulo sólido determina, no outro lado da superfície esférica, um elemento de área  , que dista de  do ponto . A normal a faz com um ângulo igual a (esse ângulo vale porque o triângulo ABO é isósceles). Podemos então escrever que:
de onde
Em há uma carga elétrica  . Essa carga produz em P um campo  , cujo módulo é:
ou
Comparando com  vemos que são iguais. E como os dois campos,  e , tem mesma direção e sentidos opostos, eles se anulam. O mesmo raciocínio se aplica a qualquer outro elemento da superfície da esfera: sempre há um outro elemento cujo campo anula o campo produzido por . Por causa disso o campo resultante em será nulo.
Teorema de Coulomb
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Calculemos o campo elétrico em um ponto muito proximo da superfície de um condutor fechado. Consideremos um elemento de superfície do condutor de área e densidade elétrica . A carga elétrica contida em vale:  .
Consideremos um cilindro determinado por:
a) o tubo de força determinado por ;
b) um plano paralelo a e passando por ;
c) um plano paralelo a e interno ao condutor.
Figura 64
Esse cilindro é uma superfície fechada. Podemos então aplicar o teorema de Gauss, para o fluxo que atravessa a superfície do cilindro:
Mas, dentro desse cilindro só existe , contida em , isto é,
Então, em módulo:
O fluxo total é a soma de três fluxos.
a) Fluxo através de CD. Sendo o campo em A, esse fluxo vale: . .
b) Fluxo através de GF. É nulo, porque GF é interno ao condutor, e, no interior do condutor o campo é nulo.
c) Fluxo através da parede lateral do cilindro. É nulo, porque essa parede lateral é formada por linhas de força, que são tangentes ao campo. Então,
Comparando com (*), temos:
ou
Essa expressão é o “teorema de Coulomb”: a intensidade do campo elétrico em um ponto infinitamente próximo de um condutor fechado vale , em que é a densidade elétrica nos pontos do condutor próximos do ponto considerado.
Campo elétrico em um ponto próximo de um plano
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Suponhamos um plano eletrizado com densidade , por exemplo positiva. Para calcularmos o campo em um ponto muito próximo do plano, repetimos o raciocínio anterior. Consideramos o cilindro CDFG (fig. 45), idêntico ao do caso anterior. A única carga elétrica interna é a carga contida no elemento de superfície de valor  . Pelo teorema de Gauss
O fluxo total é a soma dos fluxos através das bases com o fluxo lateral, isto é,  . Pelo motivo já exposto,  . O fluxo através de CD vale:  , e é positivo porque as linhas de força saem da superfície, desde que supusemos positivo. O fluxo através de FG também vale , e é positivo, porque também sai da superfície. Logo,
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Figura 65
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Substituindo na expressão do teorema de Gauss:
ou
Esse é o valor da intensidade do campo em um ponto muito próximo de um plano eletrizado com densidade elétrica . Veremos uma aplicação muito importante desta fórmula no estudo dos condensadores planos (Capítulo V).
Nota: Tanto no caso de condutor plano, como no caso de condutor fechado, o sentido do vetor é o seguinte: quando o condutor é eletrizado positivamente, é dirigido do condutor para for a ; quando o condutor é eletrizado negativamente, tem o sentido contrário, o que é fácil de concluir.
Figura 65
Tensão eletrostática
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Consideremos na superfície de um condutor um elemento de área muito pequena. Nessa superfície haverá uma carga de valor . O restante do condutor produz em um campo elétrico, que chamaremos . A carga , estando situada em um campo elétrico , fica sujeita a uma força  . Chama-se tensão eletrostática em 1, ao quociente do módulo da força pela área
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Figura 67
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Em um ponto muito próximo da parte central de a intensidade do campo é:
Esse campo é a soma de dois campos: um  , produzido pela carga Q contida em S, outro  , produzido pela carga contida no restante do condutor. A superfície S sendo muito pequena, pode ser considerada como plana. Logo, o campo que ela produz em tem a intensidade:
Temos portanto
Esse é o campo produzido pela parte restante do condutor em um ponto muito próximo de . Logo é também a intensidade do campo produzido em . Substituindo na expressao de T, fica:
Essa é fórmula, que tínhamos mencionado no "Unidades de Densidade Elétrica" sem demonstrá-la. Observemos que a tensão eletrostática é proporcional ao quadrado da densidade elétrica superficial. Isso explica o poder das pontas , pois nas pontas é muito grande, como consequência a tensão eletrostática é grande, e então as cargas elétricas tem grande tendência de sair (veja "O Poder das Pontas" ).
Campo elétrico criado por condutor esférico
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O teorema de Gauss e o de Coulomb são dois dos mais importantes da Eletricidade. Veremos agora uma aplicação interessante de ambos para o estudo do campo elétrico produzido por um condutor esférico. Seja uma esfera de raio R e carga Q (fig. 68). Um ponto pode ocupar, relativamente à esfera, três posições: ou é interno, ou pertence à esfera, ou é externo. Calculemos o campo elétrico em cada um desses casos.
Figura 68
2o caso) Ponto B pertencente à esfera – Pelo teorema de Coulomb, em um ponto infinitamente próximo de um condutor fechado o campo vale :
Esse também é o campo em um ponto da própria superfície do condutor. Tratando-se de uma esfera, a área vale:  . Então:
Fica:
 ou 
3o caso) Ponto C externo – Seja d a distância de C ao centro da esfera. Consideremos uma superfície esférica imaginária de raio d concêntrica à esfera de raio R. Como há uma simetria, o campo elétrico em todos os pontos dessa superfície tem o mesmo módulo . O fluxo através dessa superfície é então, em módulo:
Mas, . Então:
A carga Q, que se encontra distribuída sobre a esfera de raio R, é interna a essa esfera de raio d. Aplicando o teorema de Gauss para o fluxo que atravessa a superfície imaginária, temos:
Então:
de onde:
As expressões e  mostram que o campo produzido na superfície ou num ponto externo de uma esfera pode ser calculado admitindo-se que a carga da esfera seja puntiforme e colocada no centro da esfera, em vez de estar distribuída pela superfície. Pois essas expressões dão o módulo do campo produzido por uma carga puntiforme Q, num meio de constante dielétrica  , em pontos situados, respectivamente, às distâncias R e d (veja fórmula ).
Trabalho no campo elétrico
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Calculemos o trabalho realizado durante o deslocamento de uma carga dentro de um campo elétrico. Seja o campo elétrico produzido pela carga elétrica puntiforme Q. Uma outra carga puntiforme q, colocada no campo, ficará sujeita a uma força . Se nada impedir, essa força deslocará a carga q e realizará então um trabalho. Calculemos o trabalho realizado pela força para um deslocamento de q até de A um ponto B (fig. 69). Imaginemos sempre a carga q suficientemente pequena para não alterar o campo de Q. Quando a carga q está em A a força vale:
Figura 69
Mas, à medida que a carga é deslocada, a distância d varia, e a força também. Não podemos calcular elementarmente o trabalho realizado por uma força variável. Por causa disso vamos decompor a trajetória AB em número muito grande de partes AA1, A1A2, A2, A3, etc., sendo essas partes suficientemente pequenas para que possamos admitir a força como constante dentro de cada uma delas. Assim, entre A e A1 admitamos a força constante e com valor que ela possui em A. O trabalho realizado entre A e A1 será:
Sendo d1 a distância de A1 à carga Q, temos  . Substituindo os valores de F e  em  , fica:
Como admitimos A e A1 muito próximos, as distâncias de d1 são quase iguais. Podemos então fazer  e substituir, na equação de o valor d2 pelo produto dd1.
Fica:
ou
Chamamos  respectivamente às distâncias dos pontos  até a carga , e repetindo o raciocínio para os trabalhos realizados nos trechos  encontraremos as seguintes expressões para esses trabalhos:
O trabalho total entre A e B é a soma desses trabalhos parciais:
Somando membro a membro as expressões (1), (2), (3), (4) e colocando em evidência  , temos:
ou
Conceito de potencial
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Suponhamos que o ponto esteja infinitamente afastado, isto é, tende para o infinito. A expressão que calculamos dará então o trabalho que a força eletrostática F realiza para deslocar a carga puntiforme q do ponto A ao infinito. Nesse caso,
se anula, e resulta:
Como as expressões  e  tem o mesmo sinal, quando  é nulo a diferença entre elas é máxima. Isso corresponde ao caso
Conceito de potencial
que estamos examinando. Concluímos que o trabalho realizado quando a carga q é deslocada do ponto A ao infinito é o máximo trabalho que se pode obter a partir do ponto A. Esse trabalho máximo representa a energia potencial da carga q quando ela é colocada em A, pois a energia potencial em certa posição representa o máximo trabalho que se pode extrair a partir dessa posição. Concluímos que a expressão da energia potencial da carga puntiforme q, quando ela está no ponto A, é:
considerando a carga como a unidade de carga, a energia potencial dessa unidade de carga será então numericamente igual a . Significa que o número que mede o produto é o mesmo número que mede a energia potencial da unidade de carga. Por causa disso, a expressão A é chamada potencial do ponto . Podemos então dar a seguinte definição: dada uma carga elétrica puntiforme Q em um meio de constante dielétrica , chama-se potencial de um ponto situado à distância d da carga, ao produto
Em Física, dizemos que uma grandeza é infinitamente grande quando ela é muito grande em relação ao problema considerado. Assim, dizer que  tende para o infinito significa que é uma distância muito grande em relação à extensão do campo elétrico da carga Q. Por exemplo, suponhamos que o campo elétrico da carga Q termine a 5 centímetros dessa carga. Então todos os pontos que distam de aproximadamente 5 centímetros da carga Q são pontos infinitamente afastados da carga, se os considerarmos como pontos do campo elétrico dessa carga. Embora em outros problemas a distância de 5 centímetros possa ser muito pequena, no caso do campo elétrico citado ela não é pequena. Em resumo, pontos infinitamente afastados de uma carga elétrica são pontos que estão nos fins do campo dessa carga.
Fazendo um resumo do que dissemos acima sôbre potencial, podemos dizer o seguinte: o potencial de um ponto de um campo elétrico é a energia potencial da unidade de carga colocada nesse ponto. Ou, em outras palavras: é o trabalho realizado pela força eletrostática quando desloca a unidade de carga desse ponto ao fim do campo.
Em geral representamos o potencial pela letra v.
Na fórmula que dá  , temos:
é o potencial do ponto A, que chamaremos  ;
é o potencial do ponto B, que chamaremos VB.
A fórmula pode então ser escrita:
Essa fórmula exprime o seguinte teorema: “o trabalho realizado pela força eletrostática quando desloca uma carga elétrica puntiforme entre dois pontos de um campo elétrico é igual ao produto da carga pela diferença de potencial entre os dois pontos”.
Campo criado por várias cargas elétricas puntiformes
Suponhamos o campo elétrico criado pelas cargas puntiformes  (fig. 70) e um ponto A situado às distâncias  dessas cargas. Chama-se potencial do ponto A, por definição, à soma algébrica dos potenciais que as cargas produzem separadamente em A. Isto é, por definição:
 (Soma algébrica)
ou
 (Soma algébrica)
Figura 70
Unidades de diferença de potencial
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a. Sistema CGSES
Neste sistema, a unidade de diferença de potencial é obtida a partir da expressão  . A unidade de trabalho adotada neste sistema é o erg. Portanto, devemos fazer:
Resulta:
“A unidade de diferença de potencial no sistema CGSES é a diferença de potencial existente entre dois pontos tais que a força eletrostática, deslocando a carga de um statcoulomb de um ponto a outro, realiza o trabalho de um erg”. Chama-se statvolt (símbolo, statv), ou unidade CGSES de diferença de potencial ( CGS V, ou u CGSES V).
b. Sistema MKS
Considerando-se:
 ,
resulta:
 (símbolo V, ou v)
“Um volt é a diferença de potencial existente entre dois pontos quando o trabalho realizado pelo campo eletrostático para deslocar um coulomb de um ponto a outro é de um joule.”
Superfície equipotencial
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Superfície equipotencial é uma superfície cujos pontos tem todos o mesmo potencial.
Uma carga elétrica , abandonada em um campo elétrico, nunca é deslocada ao longo de uma superfície equipotencial. Porque, quando a carga é deslocada de um ponto A a um ponto B, o trabalho realizado vale:
 .
Numa superfície  equipotencial resulta,  , isto é, não há trabalho sobre a superfície equipotencial.
Quando um condutor está eletrizado e a carga elétrica está em equilíbrio na superfície de um condutor, essa superfície é equipotencial. Pois, se não o fosse, a carga não estaria em equilíbrio, mas, em deslocamento.
Teorema
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“As linhas de força de um campo elétrico são normais às superfícies equipotenciais desse campo.”
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Figura 71
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A força tangente produziria um deslocamento da carga ao longo da tangente, isto é, ao longo da superfície S. Mas, como a superfície é equipotencial, isso não é possível. Logo também não é possível a decomposição do vetor em  e  . Isto é, não há componente tangencial desse vetor, ele é normal à superfície. E, como a linha de força é tangente a , ela também é normal à superfície.
Observações
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Relativamente ao campo elétrico existem duas proposições que somente enunciaremos, sem demonstrar, porque a demonstração não pode ser feita por álgebra elementar.
1a) “O trabalho realizado no deslocamento de uma carga elétrica entre dois pontos de um campo elétrico só depende da posição dos dois pontos, e não depende da trajetória.” Assim, o trabalho para transportar uma carga de A a B pela trajetória a é o mesmo que para transportar pela trajetória b (fig. 72).
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Figura 72
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2a) “O potencial dos pontos internos de um condutor eletrizado é o mesmo dos pontos da superfície.” Por exemplo, vimos no tópico "Campo Elétrico Criado por Condutor Esférico", que o campo produzido por uma esfera, pode ser calculado admitindo-se a carga colocada no centro da esfera. O potencial de um ponto da esfera será de acordo com a definição de potencial (tópico "Conceito de Potencial")
Esse é também o potencial dos pontos internos da esfera.
Anteparos eletrostáticos, ou blindagens eletrostácas - gaiola de Faraday
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Vimos no tópico "Experiências", que a carga elétrica de um condutor se distribui pela superfície externa. No tópico "Campo no Interior de um Condutor" provamos que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo. Esses fatos indicam que um campo elétrico nunca penetra num espaço completamente envolvido por condutor. Qualquer corpo A colocado no interior de um condutor ôco B (fig. 73) não sofre ação de campos elétricos externos. O condutor ôco faz uma blindagem ao campo eletrostático.
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Figura 73
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Esse fato é usado na prática para a proteção de instrumentos elétricos sensíveis contra a influência de campos elétricos externos. Encerra-se o instrumento em uma caixa metálica ligada à terra.
Uma experiência ilustrativa e simples pode ser feita com a gaiola de Faraday. Um pêndulo elétrico neutro é colocado sobre um prato metálico ligado à terra. Aproximando-se do pêndulo um corpo carregado A, o pêndulo é eletrizado por indução e é atraído (fig. 74-a). Depois se cobre o pêndulo com uma gaiola. Aproximando-se o corpo eletrizado, agora o pêndulo não se eletriza e não se move, por mais finos que sejam os arames da gaiola (fig. 74-b). Vemos que o campo elétrico não penetra no espaço envolvido por um condutor, mesmo quando a superfície desse condutor é descontínua.
Se o condutor estiver isolado, podemos carregá-lo tão intensamente quanto quisermos, mas o campo não penetrará na região que ele envolve.
Faraday realizou essas experiências no ano de 1836. Para demonstrar indubitavelmente o fato, fez o seguinte: construiu uma caixa de dimensões tais que ele coubesse dentro dela. Revestiu-a de material condutor, e isolou-a da terra. Entrou na caixa com um eletroscópio. Mandou carregar a caixa com descargas elétricas intensas. O eletroscópio, no interior da caixa, não acusou a presença de nenhum campo elétrico, e o próprio Faraday nada sentiu.
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Figura 74
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Nota: Depois de ter estudado todo este Capítulo III, o leitor pode concluir como é importante em Eletrostática a noção de densidade elétrica superficial.
Nota histórica
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Michael Faraday (1791 – 1867), inglês, foi um dos maiores físicos que já existiram. Iniciou seus trabalhos científicos em Química, onde fez muitas descobertas. Dedicou-se depois à Física, interessando-se por Ótica, Acústica e Eletricidade. As idéias fundamentais que temos hoje em Eletricidade e Magnetismo foram introduzidas por Faraday. Assim, foi ele quem fez a importantíssima descoberta da existência do campo elétrico. Descoberta essa fundamental, porque todas as ações de uma carga elétrica se fazem através de seu campo, desde um simples caso de atração de outra carga, até as ondas de rádio e de radar. Antes de Faraday os físicos pensavam que as forças eletrostáticas se exercessem diretamente entre as cargas, “à distância”, sem considerarem o meio interposto. Fez descobertas em dielétricos, condensadores, indução eletrostática, condução de eletricidade pelos líquidos e em eletromagnetismo. Inventou o primeiro motor elétrico.
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Figura de Michael Faraday
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Faraday era filho de um ferrador de cavalos. Quando menino, trabalhou inicialmente vendendo jornais, e depois como encadernador de livros. Lia sempre as obras que lhe davam para encadernar. Dois livros tiveram muita influência em sua vida: um de Química, e a Enciclopédia Britânica. Passou a repetir em sua casa, com os mais rudimentares recursos, as experiências que lia. Quando teve oportunidade de trabalhar num laboratório, ali permaneceu mais de 50 anos, dos quais 46 anos vivendo no mesmo prédio. É um dos grandes exemplos de que a produção científica resulta de um trabalho metódico, e constante, e não de inspirações instantâneas.
Exercícios Propostos
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1. Uma carga elétrica puntiforme de 500 ues CGSq é colocada no vácuo. Calcular o campo elétrico que ela produz em um ponto A situado a de 10 cm distância.
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Figura 75
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Solução
a) módulo do campo
b) direção de campo – a da retaQA
c) sentido do campo – o do sentido QA.
2. Uma carga elétrica puntiforme de -4 c está no vácuo. Calcular o campo elétrico e o potencial que ela produz em um ponto situado a 0,5 m de distância. Resolver no sistema MKS.
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Figura 76
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Solução
1o) Cálculo de campo elétrico.
a) Módulo:
Resulta:
b) direção – a da reta QA
c) sentido – o do sentido QA.
2o) Cálculo do potencial.
3. Duas cargas elétricas puntiformes, valendo -400 ues CGSq e 2.10-6 c, ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado 0,20 m, no vácuo. Calcular o campo e o potencial no outro vértice do triângulo. Resolver no sistema CGSES e transformar os resultados para o MKS.
Solução
1o) Cálculo do campo
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Figura 77
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O módulo do resultante será:
A direção do campo resultante pode ser assinalada pelo ângulo que ele faz com a componente .
Temos:
2o ) Cálculo do potencial.
O potencial do ponto A é a soma algébrica dos potenciais que Q1 e Q2produzem separadamente em A, isto é:
3o) Mudança das unidades para o sistema MKS
a) Campo – Podemos estabelecer a proporção:
b) Potencial – Podemos estabelecer a proporção
4. Seis cargas elétricas puntitormes, todas positivas, são colocadas no vácuo nos vértices de um hexágono regular de lado 10 cm. As cargas valem, respectivamente, em ues CGSq 100, 200, 300, 400, 500, 600. Calcular o campo elétrico e o potencial que elas produzem no centro do hexágono.
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Figura 78
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5. Uma esfera de raio 15 cm é colocada no vácuo e carregada com a carga elétrica de 200 ues CGSq. Calcular o campo elétrico e o potencial: a) em um ponto da superfície da esfera; b) em um ponto externo, situado a 5 cm da superfície; c) em um ponto interno qualquer.
6. Uma esfera colocada no vácuo tem raio de 10 cm e carga elétrica de 200 ues CGSq. Calcular o campo elétrico e o potencial: a) em um ponto de superfície da esfera; b) em um ponto externo situado a 100 cm da superfície da esfera; c) em um ponto interno qualquer. Calcular a força que atua sobre uma carga q = 200 ues CGSq colocada; d) no ponto externo situado a 100 cm da superfície; e) em um ponto interno qualquer.
7. Demonstrar, com auxílio do teorema de Coulomb, que o campo elétrico na superfície de uma esfera pode ser calculado imaginando-se que a carga esteja concentrada no centro.
8. Calcular o campo elétrico e o potencial na superfície de uma esfera de raio 5 cm, sabendo que a carga elétrica da esfera é -4.10-5 c (esfera colocada no vácuo) .
9. Calcular o campo elétrico em um ponto de uma superfície plana retangular de dimensões 20cm x 40cm, carregada com carga de 600 ues CGSq. Admitir a superfície no vácuo.
10. O campo elétrico em um ponto de uma superfície plana é 5 ues CGSq . Calcular a área da superfície, sabendo que a carga é de 2.10-8 c . Admitir a superfície no vácuo.
11. O campo elétrico em um ponto de uma superfície esférica é 5 ues CGSq . Calcular o raio da esfera, sabendo que a carga é de 20 statcoulombs. Admitir a esfera no vácuo, e resolver o problema usando obrigatoriamente o teorema de Coulomb.
12. No interior de um cubo é colocada uma carga elétrica puntiforme de 40 statcoulombs. Calcular o fluxo total que atravessa toda a superfície do cubo. O cubo está no vácuo.
A superfície do cubo sendo uma superfície fechada, o fluxo através dessa superfície pode ser calculado pelo teorema de Gauss
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Figura 79
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Há só uma carga no interior do tubo. Então:
Resulta:
Resposta:  .
13. No interior de uma superfície fechada qualquer, são colocadas as cargas elétricas seguintes:  ,  ,  . Calcular o fluxo total através da superfície. Dar a resposta no sistema CGSES e no MKS.
14. Calcular o fluxo que atravessa uma superfície plana de 50 cm2, colocada perpendicularmente a um campo elétrico uniforme de intensidade 3 ues CGSq .
15. Calcular o fluxo que atravessa uma superfície plana de 80 cm2 área colocada de maneira a fazer ângulo de 30o com a direção de um campo elétrico uniforme de intensidade 6 ues CGSq .
16. Calcular o fluxo que atravessa uma superfície plana de 100 cm2 área colocada em um campo elétrico uniforme de intensidade 15 ues CGSq nos seguintes casos:
a) a normal à superfície faz ângulo de 0o com o campo;
b) a normal à superfície faz ângulo de 90o com o campo;
c) a normal à superfície faz ângulo de 180o com o campo;
d) a normal à superfície faz ângulo de 270o com o campo;
e) a normal à superfície faz ângulo de 360o com o campo.
Dar as respostas em unidades CGSES e MKS.
17. Um campo elétrico é produzido por uma carga elétrica puntiforme de 100 statcoulombs, no vácuo. Calcular: a) potencial de um ponto situado à distância de 0,50 m dessa carga; b) a energia potencial de uma carga de 25 statcoulombs colocada nesse ponto.
18. Um campo elétrico é produzido no vácuo por duas cargas elétricas puntiformes de 2 c e -5 c, respectivamente. Calcular: a) o potencial de um ponto que dista 20 cm da primeira carga e 0,50 m da segunda; b) a energia potencial de uma carga elétrica puntiforme de 0,06 c colocada nesse ponto. Resolver o problema no sistema MKS.
19. Uma carga elétrica puntiforme de 2 c é deslocada em um campo elétrico, de um ponto de potencial 5 volts para um ponto de potencial 2 volts. Qual o trabalho realizado pela força eletrostática?
Solução
Quando uma carga elétrica , abandonada em um campo elétrico, é deslocada de um ponto de potencial para um ponto de potencial , o trabalho realizado pelo campo é:
Temos 
Resposta:  .
20. Uma carga elétrica puntiforme de 10 c passou de um ponto de potencial 8 v a um ponto de potencial 5 v. Essa carga ganhou ou perdeu energia? Quanto?
21. Uma carga elétrica puntiforme de 8 ues CGSq é deslocada de um ponto de potencial 3 ues CGSq a um ponto de potencial 2100 v. Essa carga ganhou ou perdeu energia? Quanto? O trabalho foi realizado pelo campo elétrico, ou contra o campo elétrico?
22. Uma carga elétrica puntiforme de 5 c é deslocada de um ponto de potencial 120 volts ao infinito. Calcular: a) o trabalho realizado; b) a energia potencial da carga colocada no ponto de potencial 120 volts.
23.Qual a variação da energia potencial de uma carga elétrica puntiforme de 3 c quando passa de um ponto de potencial 2 statvolts a um ponto de potencial 4 statvolts?
24. Uma carga elétrica puntiforme de 5 c abandonada em um campo elétrico é deslocada de um ponto de potencial 50 v a um ponto de potencial V desconhecido. Nesse deslocamento a carga absorve a energia de 20 joules. Calcular V.
25. Estabelecer a relação existente entre a unidade de intensidade de campo do sistema CGSES e a do sistema Giorgi, mas, usando obrigatoriamente a expressão:
26. Se uma carga negativa passa de certo potencial para outro mais alto, ela ganha ou perde energia? E se for positiva?
27. Em Física Atômica se usa uma unidade de energia chamada elétron-volt. Um elétron-volt é o trabalho realizado para deslocar a carga elétrica de um elétron entre dois pontos cuja diferença de potencial é um volt. Sabendo que a carga elétrica de um elétron é de 4,8021.10-10 ues CGSq, calcular a relação entre o erg e o elétron-volt.
28. Uma esfera de raio tem densidade elétrica de 200 ues CGSq/cm2, e está colocada num meio cuja constante dielétrica é 8/9.108 u MKS. Calcular: a) o campo elétrico e o potencial na superfície da esfera; b) o campo elétrico e o potencial num ponto situado a 5 cm da superfície da esfera; c) o fluxo elétrico que atravessa a superfície de uma esfera de 20 cm de raio concêntrica com a esfera eletrizada; d) o trabalho realizado ao deslocar uma carga de 2.10-8 c da superfície da esfera eletrizada ao fim do seu campo.
29. O que é um campo de forças? O que é campo elétrico de uma carga elétrica?
30. Porque o campo elétrico é newtoniano?
31. Defina vetor campo elétrico em um ponto. Qual o módulo, a direção e o sentido do vetor campo em um determinado ponto?
32. Defina a unidade de intensidade de campo elétrico do sistema CGSES, a do MKS, e mostre a relação entre elas.
33. Defina linha de força de um campo eletrostático. Qual a importância do conhecimento das linhas de força? Como se estabelece o sentido de uma linha de força?
34. Desenhe as linhas de força do campo produzido por duas cargas elétricas de mesmo sinal. E do campo produzido por três cargas elétricas de mesmo sinal dispostas nos vértices de um triângulo equilátero (indique os sentidos das linhas).
35. Por que duas linhas de força de um mesmo campo não se cruzam?
36. Defina campo eletrostático uniforme. Dê exemplo.
37. Defina fluxo eletrostático. Faça um gráfico da variação do fluxo em função do ângulo que a normal à superfície faz com o campo.
38. Defina as unidades de fluxo dos sistemas CGSES e MKS, e mostre a relação entre elas.
39. Defina tubo de força. Qual é a forma geométrica de um tubo de forças do campo produzido por uma carga elétrica puntiforme?
40. Enuncie e demonstre o teorema de Gauss.
41. Demonstre que o campo eletrostático é nulo no interior de uma esfera.
42. Demonstre a fórmula que exprime o módulo do campo nas vizinhanças de um plano.
43. Enuncie e demonstre o teorema de Coulomb.
44. Defina tensão eletrostática. Demonstre a fórmula (18).
45. Demonstre que, no campo criado por um condutor esférico tudo se passa como se a carga estivesse concentrada no centro da esfera.
46. Defina potencial de um ponto de um campo eletrostático. Por que se chama potencial? Se o potencial de um ponto é , qual a energia potencial de uma carga colocada nesse ponto?
47. Demonstre a fórmula (37).
48. Quanto vale o potencial de um ponto da superfície de uma esfera eletrizada?
49. Quais as unidades de diferença de potencial dos sistemas CGSES e MKS? Qual a relação entre elas?
50. O que é uma superfície equipotencial? Que direção tem as linhas de força na superfície de um condutor eletrizado? Por que?
51. O que é blindagem eletrostática?
52. Descreva a analogia existente entre o campo elétrico e o campo gravitacional.
53. Uma determinada carga elétrica produz campo elétrico mais forte no ar ou na água? Por que?
54. O fluxo elétrico é uma grandeza escalar ou vetorial? Por que?
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Teorema de Gauss
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Este teorema se refere ao fluxo através de uma superfície fechada, no caso em que o campo elétrico é produzido por cargas colocadas no interior da superfície. Suponhamos inicialmente uma só carga Q puntiforme colocada dentro da superfície. Consideremos na superfície um elemento de área muito pequena. Esse elemento e o ponto ocupado por determinam um ângulo sólido também pequeno.
Figura 62
O fluxo total, através de toda a superfície, valerá a soma de todos os fluxos considerados através de todos os elementos de superfície. Portanto,
Sendo constante, podemos colocar em evidência:
Mas, representa o ângulo sólido total ao redor de um ponto. Então esferadianos. Fica
Essa igualdade foi demonstrada para valores absolutos. Provemos que o sinal do primeiro membro coincide sempre com o do segundo. Suponhamos Q positivo; então as linhas de força “saem” de Q, e, portanto, saem da superfície (fig. 62). Mas, nós convencionamos no parágrafo anterior que quando as linhas de força saem de uma superfície fechada o fluxo que atravessa a superfície seja positivo. Logo, quando Q é positivo, também é positivo.
De igual modo se prova que quando Q é negativo, também é negativo (fig. 62-b). Considerando os sinais de Q e de a última fórmula pode ser escrita:
Teorema de Gauss
Figura 62
Suponhamos agora que, em vez de uma só carga , sejam colocadas no interior da superfície várias cargas . Cada uma delas produzirá um fluxo. O fluxo total será a soma algébrica dos fluxos que elas produzem separadamente:
ou
onde representa a soma algébrica das cargas internas àsuperfície.
O teorema de Gauss pode então ser enunciado da seguinte maneira: “o fluxo total através de uma superfície fechada, e produzido pelas cargas internas é igual ao produto de pela soma algébrica das cargas internas” .
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 . Então,
ou
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. Quando 
, fica: 
mostra que, para o mesmo ambiente (mesmo 
. O módulo do campo no ponto vale: 
. Comparando as duas expressões concluímos que:
não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial S (fig. 71). Nesse caso, como o vetor campo 
